§ 5. АКСИОМЫ ГЕОМЕТРИИ, ИХ ПРОВЕРКА ДЛЯ УКАЗАННОЙ МОДЕЛИ

Опубликовано: 30.09.2017

1. Для того чтобы строго математически доказать, что модель Клейна действительно дает истолкование геометрии Лобачевского, нужно прежде всего точно формулировать, что же собственно нужцо доказывать. Проверять подряд теоремы Лобачевского было бы бессмысленно; их много, притом неограниченно много, поскольку можно доказывать все новые и новые теоремы. Достаточно будет, однако, показать, что в модели Клейна выполняются основные положения геометрии Лобачевского, из которых остальные уже могут быть выведены. Но в таком случае нужно точно формулировать эти основные положения.

Таким образом, задача о доказательстве непротиворечивости геометрии Лобачевского приводит к задаче о точной и полной формулировке ее основных положений, т. е. аксиом. А так как посылки геометрии Лобачевского отличаются от посылок геометрии Эвклида одной аксиомой параллельности, то задача сводится к точной и полной формулировке аксиом эвклидовой геометрии. У Эвклида такой формулировки еще не было; у него, в частности, вовсе отсутствовало какое бы то ни было определение свойств движения или наложения фигур, хотя он ими, конечно, пользовался. Задача об уточнении и пополнении

аксиом Эвклида встала во весь рост именно в связи с развитием геометрии Лобачевского, а также в связи с наметившимся в конце прошлого столетия общим течением к уточнению основ математики.

В результате исследований ряда геометров вопрос о формулировке аксиом геометрии был решен.

Вообще аксиомы можно выбирать различно, принимая в качестве основных разные понятия. Мы приведем здесь список аксиом геометрии на плоскости, в котором основными понятиями служат точка, прямая, движение и такие понятия, как точка X лежит на прямой а; точка В лежит между точками А и С; движение переводит точку X в точку Y. (В таком случае другие понятия через них определяются; так, например, отрезок определяется как множество всех точек, лежащих между двумя данными.)

rss