Все о математике
Опубликовано: 03.11.2017
История иррациональных чисел восходит к удивительному открытию пифагорейцев еще в VIв. до н. э. А началось всё с простого, казалось бы, вопроса: каким числом выражается длина диагонали квадрата со стороной 1?
Диагональ разбивает квадрат на два одинаковых прямоугольных треугольника, в каждом из которых она выполняет роль гипотенузы. Поэтому, как следует из теоремы Пифагора, длина диагонали квадрата равна \(\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}\). Если извлечь квадратный корень с помощью микрокалькулятора, то получится 1,414213562373. А с помощью компьютера можно вычислить до сотен, тысяч, миллионов знаков после запятой. Но даже самый современный компьютер, сколько бы долго он ни работал, никогда не сможет ни рассчитать все десятичные цифры числа \(\sqrt{2}\), ни обнаружить в них какой-либо период.
Парадоксы вынос мозга
И хотя у Пифагора и его учеников компьютера не было, обосновали этот факт именно они. Пифагорейцы доказали, что у диагонали квадрата и его стороны общей меры не существует. Следовательно, отношение их длин - число \(\sqrt{2}\) - нельзя выразить отношением некоторых целых чисел m и n . А коль скоро это так, добавим мы, десятичное разложение числа \(\sqrt{2}\) не обнаруживает никакой регулярной закономерности.
По следам открытия Пифагорейцев
Как доказать , что число \(\sqrt{2}\) иррационально? Предположим, существует рациональное число \(\frac{m}{n}\), такое что \(\frac{m}{n}=\sqrt{2}\). Дробь \(\frac{m}{n}\) будем считать несократимой. Возведя обе части равенства в квадрат, получим \(m^{2}=2n^{2}\). Отсюда заключаем, что m - число чётное, т.е. m=2k. Поэтому \(m^{2}=4k^{2}\) и, следовательно, \(4k^{2}=2n^{2}\), или \(2k^{2}=n^{2}\). Но тогда получается, что n так же число чётное, а это быть не может, поскольку дробь \(\frac{m}{n}\) нескоратима. Возникает противоречие.